User:GD0614/sandbox

Средњевековни Средњи Исток

Страница из Збирке књиге о обрачуну по завршетку и балансирању.

У првом веку Исламске Арапске Империје није било готово никаквих научних или математичких достигнућа, будући да Арапи, са својом недавно освојеном империјом, још нису стекли никакав интелектуални нагон и истраживања у другим дијеловима свијета су изблиједила. У другој половини 8. века, ислам је имао културно буђење, а истраживања из математике и науке су се повећала.

Муслимански Aбасид Kалиф ал-Мамун (809–833) наводно је имао сан у којем му се Аристотел указао, и као посљедица тога, ал-Мамун је наредио да се арапски превод изради што је више могуће грчких дјела, укључујући Птоломејев Алмагест и Еуцлид'с Елементс. Византијско царство ће дати муслиманима грчке радове у замјену за уговоре, будући да су ова два царства одржавала нелагодан мир. Многа од ових грчких дјела превела је Тхабит ибн Курра (826–901), која је превела књиге које су написали Еуклид, Архимед, Аполоније, Птоломеј и Еутоције.

Постоје три теорије о пореклу арапске алгебре. Први наглашава хиндуистички утицај, други наглашава мезопотамски или перзијско-сиријски утицај, а трећи наглашава грчки утицај. Многи научници вјерују да је то резултат комбинације сва три извора. Током свог времена на власти, пре пада исламске цивилизације, Арапи су користили потпуно реторичку алгебру, где су често чак и бројеви били изражени ријечима. Арапи би евентуално замијенили написане бројеве (нпр. Двадесет двије) арапским бројевима (нпр. 22), али Арапи нису усвојили или развили синкопирану или симболичку алгебру [50] све до рада Ибн ал-Банне у 13. стољећу. и Абу ал-Хасан ибн Али ал-Каласади у 15. веку.

Оригинални арапски рукопис књиге Алгебре Ал-Кхваризмија.

Страница из Алгебре Ал-Кхваризмија Фредрицка Розена, на енглеском језику.

Ал-јабр ва'л мукабалах

Муслиман Персијски математичар Мухамед ибн Муса ал-Кхваризми био је члан факултета "Куће мудрости" (Баит ал-Хикма) у Багдаду, који је основао Ал-Мамун. Ал-Хавризми, који је умро око 850. године, написао је више од пола туцета математичких и астрономских радова, од којих су неки били базирани на индијском Синдхинду. Једна од најпознатијих књига Ал-Кхваризмија названа је Ал-јабр ва'л мукабалах или Збирка књига о израчунавању по завршетку и балансирању, и даје исцрпан приказ решавања полинома до другог степена. У књизи је уведен и основни концепт "редукције" и "балансирања", који се односи на транспозицију одузетих термина на другу страну једнаџбе, тј. Поништење сличних термина на супротним странама једначине. Ово је операција коју је Ал-Хавризми првобитно описао као ал-јабр.

Р. Расхед и Ангела Армстронг пишу:

"Ал-Хавризмијев текст се може разликовати не само од бабилонских таблета, већ и од Диофантове Аритметике. Више се не тиче низа проблема које треба ријешити, већ излагање које почиње примитивним терминима у којима комбинације морају дати све могуће прототипе за једначине, које од сада експлицитно чине истински предмет истраживања, ас друге стране, идеја о једначини за сопствено добро појављује се од почетка и, може се рећи, на генерички начин, у оној мери у којој то чини не само да се појаве у току решавања проблема, већ се посебно позива на дефинисање бесконачне класе проблема. "[55]

Ал-Јабр је подељен у шест поглавља, од којих се сваки бави различитим типом формуле. Прво поглавље Ал-Јабр-а бави се једнаџбама чији квадрати су једнаки његовим коренима (ак2 = бк), друго поглавље бави се квадратима једнаким броју (ак2 = ц), треће поглавље бави се коренима једнаким броју (бк = ц) ), четврто поглавље бави се квадратима и коренима једнаким бројем (ак2 + бк = ц), петим поглављем обрађују се квадрати и број једнаких коријена (ак2 + ц = бк), а шесто и задње поглавље бави се коријенима и бројем једнаки квадратима (бк + ц = ак2). [56]

Странице из арапске копије књиге из 14. века, које приказују геометријска решења за две квадратне једначине

У Ал-Јабру, ал-Хавризми користи геометријске доказе, [16] он не препознаје корен к = 0, [56] и он се бави само позитивним коренима. Он такође признаје да дискриминантни мора бити позитиван и описао је начин попуњавања квадрата, иако он не оправдава процедуру. [58] Грчки утицај је приказан геометријским основама Ал-Јабра [51] [59] и једним проблемом преузетим од Херона. Он користи писане дијаграме, али сви коефицијенти у свим његовим једначинама су специфични бројеви јер он није имао начина да са параметрима изрази оно што би могао да изрази геометријски; иако је намјера опћенитости методе. [16]

Ал-Хавризми највјероватније није знао за Диофантову Аритметику, [61] која је постала позната Арапима негдје прије 10. стољећа. И премда је Ал-Хавризми вероватно знао за Брахмагуптин рад, Ал-Јабр је потпуно реторичан са бројевима који су чак и изговорени речима. Тако, на пример, оно што бисмо писали као

$x^{2}+10x=39$

Диофант би писао као [63]

Δ^Υα̅ ςι̅ 'ίσ Μ λ̅θ̅

А Ал-Кхваризми би писао као [63]

Један квадрат и десет корена истог износа до тридесет девет дирхема; то јест, шта мора бити трг који, када се повећа за десет својих коријена, износи тридесет девет?

Логичке потребе у мешовитим једначењима

Абд ал-Хамид ибн Турк написао је рукопис под насловом Логичке потребе у мјешовитим једнаџбама, који је врло сличан ал-Кхварзимијевом Ал-Јабру и објављен отприлике у исто вријеме, или чак и раније, од Ал-Јабра. ] Рукопис даје тачно исту геометријску демонстрацију какву налазимо у Ал-Јабру, ау једном случају исти пример као и Ал-Јабр, и чак иде даље од Ал-Јабра тако што даје геометријски доказ да ако је дискриминант негативан онда квадратна једначина нема решење. [62] Сличност између ова два дела навела је неке историчаре да закључе да је арапска алгебра била добро развијена у време ал-Хавризмија и Абд ал-Хамида.

Абу Камил и ал-Каркхи

Арапски математичари су ирационалне бројеве третирали као алгебарске објекте. Египатски математичар Абу Камил Схуја ибн Аслам (око 850–930) био је први који је прихватио ирационалне бројеве (често у облику квадратног коријена, коријен коцке или четврти коријен) као рјешења за квадратне једнаџбе или као коефицијенте у једнаџби. [65] Он је такође први решио три не-линеарне симултане једначине са три непознате варијабле.

Ал-Каркхи (953–1029), такође познат као Ал-Караји, био је насљедник Абу ал-Вафа 'ал-Бузјанија (940–998) и открио је прво нумеричко рјешење за једнаџбе облика ак2н + бкн = ц . [67] Ал-Каркхи је сматрао само позитивне корене. Ал-Каркхи се такође сматра првом особом која ослобађа алгебру од геометријских операција и замењује их типом аритметичких операција које су данас у сржи алгебре. Његов рад на алгебри и полиномима, дао правила за аритметичке операције манипулирати полиномима. Историчар математике Ф.Воепцке, у Ектраит ду Факхри, траг Алгебре пар Абоу Бекр Мохаммед Бен Алхацан Алкаркхи (Париз, 1853), похвалио је Ал-Карајија што је био "први који је увео теорију алгебарског рачуна". Из овога произилази, Ал-Караји је истраживао биномне коефицијенте и Паскалов троугао.

Омар Кхаииам, Схараф ал-Дин и ал-Касхи

Омар Кхаииам

Омар Кхаииам (око 1050.-1123.) Написао је књигу о алгебри која је отишла даље од Ал-Јабра да би укључила једнаџбе трећег степена. Омар Кхаииам је дао и

аритметичка и геометријска рјешења за квадратне једнаџбе, али је дао само геометријска рјешења за опће кубичне једнаџбе будући да је погрешно вјеровао да су аритметичка рјешења немогућа. Његов метод решавања кубичних једначина употребом сечених коника користили су Менаецхмус, Арцхимедес и Ибн ал-Хаитхам (Алхазен), али је Омар Кхаииам генерализовао метод да покрије све кубичне једначине са позитивним коренима. Он је сматрао само позитивне корене и није прошао трећи степен. Такође је видео јаку везу између геометрије и алгебре. [69]

Да би се решила једнаџба трећег степена $x^{2}$ + $a^{2}$x = b, Хаииам је конструисао параболу $x^{2}$= аи, круг пречника $b/a^{2}$ и вертикалну линију кроз тачку пресека. Решење је дато дужином сегмента хоризонталне линије од извора до пресека вертикалне линије и x-осе.

У 12. веку, Схараф ал-Дин ал-Туси (1135–1213) написао је Ал-Му'адалат (Расправа о једнаџбама), који се бавио са осам типова кубичних једнаџби са позитивним рјешењима и пет типова кубичних једнаџби које не могу имају позитивна решења. Користио је оно што ће касније бити познато као "Руффини-Хорнерова метода" да би нумерички приближио корен кубне једначине. Развио је и концепте максимума и минима криве како би решио кубне једначине које можда немају позитивна решења. [70] Он је схватио значај дискриминанта кубне једначине и користио рану верзију Царданове формуле [71] да би пронашао алгебарска решења за одређене типове кубичних једначина. Неки научници, као што је Росхди Расхед, тврде да је Схараф ал-Дин открио дериват кубних полинома и схватио његов значај, док други научници повезују његово рјешење с идејама Еуклида и Архимеда.

Схараф ал-Дин је такође развио концепт функције. У својој анализи једначини $x^{3}+d=bx^{2}$на пример, он почиње променом облика једначине на $x^{2}(b-x)=d$Он затим наводи да питање да ли је једначина решење зависи од тога да ли „функција“ на левој страни достигне вредност $d$.Да би то одредила, он проналази максималну вредност функције. Он доказује да се максимална вредност јавља када $x={\frac {2b}{3}}$, која даје функционалну вредност ${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$. Схараф ал-Дин тада каже да ако је ова вриједност мања од $d$ , не постоје позитивна решења; ако је једнак $d$,онда постоји једно решење на${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$; and if it is greater than $d$, онда постоје два решења, једно између $0$и ${\frac {2b}{3}}$а друго између ${\frac {2b}{3}}$и $b$.

Почетком 15. века, Јамсхид ал-Касхи развио је рани облик Њутновог метода да нумерички реши једначину $\ x^{P}-N=0$да пронађе корене $N$.Ал-Касхи је такође развио децималне фракције и тврдио да их је сам открио. Међутим, Ј. Леннарт Берггренн напомиње да је погрешио, пошто су десетогодишње фракције први пут кориштене пет векова пре њега од стране Багдади математичара Абу'л-Хасан ал-Уклидиси већ у 10. веку.

Ал-Хассар, Ибн ал-Банна и ал-Каласади

Ал-Хассар, математичар из Марока, специјализован за правду о исламском наслеђу током 12. века, развио је модерну симболичку математичку нотацију за фракције, где су нумератор и именилац одвојени хоризонталном траком. Та иста фракцијска нотација појавила се убрзо након тога у раду Фибоначија у 13. веку.

Абу ал-Хасан ибн Али ал-Каласади (1412–1486) био је посљедњи велики средњовјековни арапски алгебариста, који је први покушај да створи алгебарску нотацију још од Ибн ал-Банне два стољећа раније, који је и сам био први који је направио такав покушај од Диофанта и Брахмагупте у давна времена. Међутим, синкопиране ознаке његових претходника нису имале симболе за математичке операције. [38] Ал-Каласади је "направио прве кораке ка увођењу алгебарске симболике користећи слова умјесто бројева" [75] и "користећи кратке арапске ријечи, или само њихова почетна слова, као математичке симболе."