اندازه بیرونی

در ریاضی و نظریه اندازه گیری، یک اندازه خارجی، تابعی است که روی تمام زیرمجموعه های یک مجموعه تعریف شده که مقادیر آن ، اعداد حقیقی گسترده شده می باشد و یک سری شروط را برقرار میکند.

تئوری اندازه بیرونی اولین بار توسط کنستانتین کاراتئودوری ارائه شد تا یک پایه انتزاعی برای تئوری مجموعه های اندازه پذیر فراهم کند.

اندازه های بیرونی معمولا در زمینه نظریه اندازه گیری هندسی استفاده می شود.

اندازه ها معمولا عمومی سازی هایی از طول، مساحت، حجم و .. هستند ولی برای مجموعه های انتزاعی و غیر عادی تری از مجموعه اعداد حقیقی یا کره هایی در فضای ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ نیز استفاده می شوند. ممکن است کسی انتظار داشته باشد تا یک تابع اندازه عمومی ${\textstyle \varphi }$ روی ${\textstyle \mathbb {R} }$ تعریف شود که در بند های زیر صدق کند:

هر بازه ای از اعداد حقیقی ${\textstyle [a,b]}$ دارای اندازه ${\textstyle b-a}$ می باشد.

تابع اندازه ${\textstyle \varphi }$ یک تابع نامنفی با مقادیر حقیقی گسترده است که روی تمام زیر مجموعه های ${\textstyle \mathbb {R} }$ تعریف شده.

3. جمع پذیری شمارا: برای هر مجموعه از زیر مجموعه های مجزای ${\textstyle (A_{j})}$ از مجموعه اعداد حقیقی داشته باشیم:

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).$

نشان داده می شود که این شروط با هم ناسازگار خواهند بود. هدف پدید آوردن اندازه بیرونی روی تمام زیرمجموعه های یک مجموعه این است که یک کلاس از زیرمجموعه های این مجموعه را که اندازه پذیر هستند به گونه ای انتخاب کرد که خاصیت جمع پذیری شمارا را براآورده کنند.

اندازه بیرونی

با داشتن مجموعه ${\textstyle X}$ ، مجموعه تمام زیر مجموعه های ${\textstyle X}$ شامل مجموعه تهی ${\textstyle \varnothing }$ را با ${\textstyle 2^{X}}$ نشان می دهیم . یک اندازه بیرونی یا خارجی روی ${\textstyle X}$ ، یک تابع مجموعه ای

$\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$ به گونه ای که :

$\mu (\varnothing )=0$
برای زیر مجموعه های دلخواه ${\textstyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ از ${\textstyle X}$ ،

${\text{if}}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{then}}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$ باید توجه کرد که نیاز به هیچ ظرافتی در مورد جمع بی شمار در این تعریف نیست. از آنجایی که تمام ${\textstyle \mu (A_{i})}$ ها همگی نا منفی هستند، حاصل جمع سمت راست نامساوی نیز نا منفی خواهد بود و مقداری از صفر تا بینهایت ${\textstyle [0,\infty ]}$ خواهد داشت .

یک تعریف معادل و جایگزین:

در بعضی از مراجع مانند Halmos (1950)، به جای تعریف بالا، یک اندازه بیرونی روی مجموعه ${\textstyle X}$ یک تابع

$\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$

تعریف می شود به گونه ای که :

$\mu (\varnothing )=0$ .
اگر ${\textstyle A,B}$ زیر مجموعه هایی از ${\textstyle X}$ باشند به گونه ای که ${\textstyle A\subseteq B}$ ، آنگاه ${\textstyle \mu (A)\leq \mu (B)}$ .

$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$ منابع

Halmos, P. (1978) [1950]. Measure theory. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
§Measure theory notes - John K. Hunter- Department of Mathematics, University of California at Davis
NOTES ON MEASURE THEORY - M. Papadimitrakis Department of Mathematics University of Crete

اندازه بیرونی

هر بازه ای از اعداد حقیقی [ a , b ] {\textstyle [a,b]} دارای اندازه b − a {\textstyle b-a} می باشد.

اندازه بیرونی

یک تعریف معادل و جایگزین:

μ ( ⋃ j = 1 ∞ B j ) ≤ ∑ j = 1 ∞ μ ( B j ) . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).} منابع

هر بازه ای از اعداد حقیقی ${\textstyle [a,b]}$ دارای اندازه ${\textstyle b-a}$ می باشد.

$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$ منابع