Draft:Signum funkcija

thumb|300x300px|Signum funkcija $y=\operatorname {sgn} x$ V matematiki je funkcija signum (iz signum, latinsko za "znak") funkcija, ki ima vrednost Template:Matematična formula, Template:Matematična formula ali Template:Matematična formula glede na to, ali je znak danega realnega števila pozitiven ali negativen ali pa je nič. V matematičnem zapisu je funkcija znaka pogosto predstavljena kot $\operatorname {sgn} x$ oz $\operatorname {sgn}(x)$.

Definicija

Signum funkcija realnega števila x je kosovno porazdeljena funkcija, ki je definirana na naslednji način: $$\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{za}}\quad x<0,\\0&{\text{za}}\quad x=0,\\1&{\text{za}}\quad x>0.\end{cases}}$$

Zakon trihotomije pravi, da mora biti vsako realno število pozitivno, negativno ali nič. Funkcija signum označuje, v katero edinstveno kategorijo spada število, tako da ga preslika v eno od vrednosti -1, +1 ali 0, ki se lahko nato uporabi v matematičnih izrazih ali nadaljnjih izračunih.

Na primer: $${\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}$$

Osnovne lastnosti

Vsako realno število lahko izrazimo kot produkt njegove absolutne vrednosti in njegove signum funkcije: $$x=|x|\operatorname {sgn} x\,.$$

Iz tega sledi, da kadar koli $x$ ni enak 0, imamo$$\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$$

Podobno velja za vsako realno število $x$, $$|x|=x\operatorname {sgn} x\,.$$ Prav tako smo lahko prepričani, da: $$\operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,$$ in tako $$\operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.$$